關係的性質 Properties of Relations

透過圖形和矩陣理解四大基本性質

🔄自反性 Reflexive

∀a ∈ A, (a,a) ∈ R
「每個元素都和自己有關係」
✅ 自反關係
1 2 3
[1 1 1]
[0 1 0]
[0 0 1]
✓ 主對角線全為 1
❌ 非自反關係
1 2 3
[1 1 0]
[0 0 0]
[0 1 0]
✗ 缺少 (2,2) 和 (3,3)
記憶技巧：自反 = 自己反射自己，就像照鏡子一樣！

↔️對稱性 Symmetric

∀a,b ∈ A, (a,b) ∈ R → (b,a) ∈ R
「如果 a 和 b 有關係，那麼 b 和 a 也要有關係」
✅ 對稱關係
1 2 3
[0 1 1]
[1 0 1]
[1 1 0]
✓ 矩陣對稱於主對角線
❌ 非對稱關係
1 2 3
[0 1 1]
[0 0 1]
[0 0 0]
✗ 有 (1,2) 但沒有 (2,1)
記憶技巧：對稱就像友誼 - 你是我朋友，我也是你朋友！

⤵️反對稱性 Antisymmetric

∀a,b ∈ A, (a,b) ∈ R ∧ (b,a) ∈ R → a = b
「如果 a 和 b 互相有關係，那麼 a 必須等於 b」
✅ 反對稱關係
3 1 2
[1 1 0]
[0 1 0]
[1 1 0]
✓ 沒有不同元素的雙向邊
❌ 非反對稱關係
1 2 3
[0 1 0]
[1 0 0]
[1 0 0]
✗ (1,2) 和 (2,1) 都存在但 1≠2
記憶技巧：反對稱像「小於等於」- 如果 a≤b 且 b≤a，那麼 a=b！

➡️遞移性 Transitive

∀a,b,c ∈ A, (a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R → (a,c) ∈ R
「如果 a→b 且 b→c，那麼必須有 a→c」
✅ 遞移關係
1 2 3 1→2 且 2→3，所以有 1→3
✓ 所有間接路徑都有直接邊
❌ 非遞移關係
1 2 3 缺少! 1→2 且 2→3，但沒有 1→3
✗ 缺少 (1,3)
記憶技巧：遞移就像接力賽 - A 傳給 B，B 傳給 C，所以 A 可以間接傳給 C！

🚫特殊性質 Special Properties

非自反性 Irreflexive
∀a ∈ A, (a,a) ∉ R
「沒有任何元素和自己有關係」
1 2 3
主對角線全為 0
非對稱性 Asymmetric
(a,b) ∈ R → (b,a) ∉ R
「沒有雙向關係」
1 2 3
嚴格的單向關係

性質快速比較表

性質 定義 矩陣特徵 實例 反例
自反 每個元素都和自己有關係 主對角線全為 1 ≤, =, ≡(mod n) <, >
對稱 關係可以反向 關於主對角線對稱 =, ≡(mod n), 朋友關係 ≤, <, 父子關係
反對稱 雙向只能是同一元素 若 M[i,j]=1 且 M[j,i]=1 則 i=j ≤, ⊆, | 朋友關係
遞移 可以接力傳遞 M² ⊆ M (布林意義) ≤, <, =, ⊆ 朋友關係(不一定)
非自反 沒有元素和自己有關係 主對角線全為 0 <, >, ≠ ≤, =
非對稱 沒有雙向關係 若 M[i,j]=1 則 M[j,i]=0 <, > =, ≤

🎯 快速判斷技巧

  1. 看矩陣判斷：
    • 自反/非自反：看主對角線
    • 對稱：看是否對稱於主對角線
    • 反對稱：檢查非對角線的對稱位置
  2. 看圖判斷：
    • 自反：每個點都有自環
    • 對稱：所有邊都是雙向的
    • 反對稱：沒有不同點之間的雙向邊
    • 遞移：檢查所有兩步路徑
  3. 常見組合：
    • 等價關係 = 自反 + 對稱 + 遞移
    • 偏序關係 = 自反 + 反對稱 + 遞移
    • 嚴格偏序 = 非自反 + 非對稱 + 遞移
重要提醒：對稱和反對稱不是相反的概念！一個關係可以同時是對稱和反對稱的（如恆等關係），也可以都不是。