想像你在存錢，每個月的存款都跟前幾個月有關係：
• 這個月的存款 = 2倍上個月的存款
• 寫成數學：an = 2an-1
問題來了：有沒有一個「公式」可以直接算出第100個月的存款，而不用一個月一個月慢慢算？
💡 答案是：有！這就是特徵方程的功用！
特徵方程就是一個「猜測遊戲」：
1. 我們猜測遞迴數列的通解形式是 an = rn
2. 把這個猜測代入原本的遞迴關係
3. 解出 r 的值
4. 用 r 寫出完整的通解
看看這個模式：
發現了嗎？每一項都是 2 的 n 次方！
所以猜測 an = rn 是很自然的想法。
猜測 an = rn（r 是我們要找的數字）
原式：an = 5an-1 - 6an-2
代入：rn = 5rn-1 - 6rn-2
兩邊同除以 rn-2：
這就是特徵方程！
用因式分解或公式解：
(r - 2)(r - 3) = 0
所以 r = 2 或 r = 3
其中 c₁ 和 c₂ 要用初始條件來決定
| 遞迴關係 | 特徵方程 | 說明 |
|---|---|---|
| an = c₁an-1 | r - c₁ = 0 | 一階（最簡單） |
| an = c₁an-1 + c₂an-2 | r² - c₁r - c₂ = 0 | 二階（最常見） |
| an = c₁an-1 + c₂an-2 + c₃an-3 | r³ - c₁r² - c₂r - c₃ = 0 | 三階 |
給定遞迴關係：an = 3an-1 + 4an-2
記住：移項要變號！
an = 3an-1 + 4an-2
→ r² = 3r + 4
→ r² - 3r - 4 = 0（不是 r² + 3r + 4 = 0）
要除以最小的次方！
rn = 5rn-1 - 6rn-2
要除以 rn-2，不是 rn
猜：猜測 an = rn
代：代入遞迴關係
除：除以最小的 r 次方
移：移項變成標準形式（= 0）
把特徵方程想像成「遞迴關係的 DNA」：
• 遞迴關係是生物的外表
• 特徵方程是內在的基因
• 解出的 r 值決定了數列的「成長速度」