情況一：只有利息（齊次）
• 第1個月：100元
• 第2個月：100 × 2 = 200元（兩倍成長）
• 第3個月：200 × 2 = 400元
• 規律：這個月 = 上個月 × 2
情況二：利息 + 零用錢（非齊次）
• 第1個月：100元
• 第2個月：100 × 2 + 50 = 250元（兩倍成長 + 媽媽給50元）
• 第3個月：250 × 2 + 50 = 550元
• 規律：這個月 = 上個月 × 2 + 50
只有 a 的倍數，沒有其他東西
例如：an = 3an-1
（這一項 = 前一項 × 3）
除了 a 的倍數，還有其他項
例如：an = 3an-1 + 5
（這一項 = 前一項 × 3 + 額外的5）
想像你要清理一個很亂的房間：
1. 先把垃圾丟掉（解決乾淨的部分）
2. 再整理剩下的東西（解決額外的部分）
3. 房間就乾淨了（兩個答案加起來）
(h) = homogeneous = 齊次 = 乾淨的部分
就是假裝沒有額外項時的答案
寫成 an(h) 只是為了區分
(p) = particular = 特解 = 處理額外項的部分
專門用來對付那個「+ 5」或「+ 2^n」的答案
寫成 an(p) 也是為了區分
（這一項 = 前一項 × 2 + 額外的3）
初始條件：a0 = 5
假裝沒有「+ 3」：an = 2an-1
這個很簡單！每次都是2倍
答案：an(h) = C × 2n
（C是某個數字，等一下再算）
因為3是常數，我們猜答案也是常數
猜：an(p) = A（A是某個固定數字）
檢查我們的猜測對不對：
如果 an = A，那麼 an-1 也 = A
代入原式：A = 2A + 3
解這個方程式：
A = 2A + 3
A - 2A = 3
-A = 3
A = -3
所以：an(p) = -3
an = an(h) + an(p)
an = C × 2n + (-3)
an = C × 2n - 3
已知：a0 = 5
代入：5 = C × 20 - 3
5 = C × 1 - 3
5 = C - 3
C = 8
用我們的答案 an = 8 × 2n - 3 來算：
• n = 0：a0 = 8 × 1 - 3 = 5 ✓
• n = 1：a1 = 8 × 2 - 3 = 13
• n = 2：a2 = 8 × 4 - 3 = 29
檢查遞迴關係：
a1 = 2 × a0 + 3 = 2 × 5 + 3 = 13 ✓
a2 = 2 × a1 + 3 = 2 × 13 + 3 = 29 ✓
答案正確！
| 額外項長什麼樣子 | 你就猜什麼 | 例子 |
|---|---|---|
| 常數（如 5） | 猜常數 A | 額外項是 5 就猜 A |
| n（一次式） | 猜 An + B | 額外項是 n 就猜 An + B |
| n²（二次式） | 猜 An² + Bn + C | 額外項是 n² 就猜 An² + Bn + C |
| 2ⁿ（指數） | 猜 A × 2ⁿ | 額外項是 3ⁿ 就猜 A × 3ⁿ |
1. 👀 看到額外項 → 這是非齊次！
2. 🧹 先解乾淨的 → 假裝沒有額外項
3. 🎯 再猜特解 → 模仿額外項的樣子
4. ➕ 加起來 → 兩個答案相加
5. 🔢 用初始條件 → 算出具體數字